מתבנית לביטוי — חוקיות בסדרות — שיעור בלומדים חשבון

אחרי השיעור הזה: אני יודע למצוא ביטוי למקום ה־n בסדרה, ולחשב בעזרתו כל מקום

סדרה היא רשימת מספרים שיש בה חוק. למשל 5, 10, 15, 20 — כל פעם מוסיפים 5.

קל לדעת מה המספר הבא: 25. אבל מה המספר במקום ה־100 ברשימה? לכתוב 100 מספרים זה ארוך מאוד. בשביל זה מוצאים ביטוי — מעין מתכון שמחשב כל מקום ברשימה בצעד אחד.

באלגברה קוראים למספר המקום n. המספר הראשון ברשימה נמצא במקום n = 1, השני במקום n = 2, השלישי במקום n = 3, וכן הלאה.

הסדרה 5, 10, 15, 20

המקום n	המספר בסדרה	5 × n
1	5	5 × 1 = 5
2	10	5 × 2 = 10
3	15	5 × 3 = 15
4	20	5 × 4 = 20

בכל שורה המספר בסדרה שווה בדיוק ל־5 × n. לכן הביטוי של הסדרה הוא 5n. ועכשיו המקום ה־100 קל: 5 × 100 = 500.

גם ציור של נקודות יכול להיות סדרה. הסתכלו איך כל מבנה גדל:

איך מוצאים את הביטוי — שלושה צעדים

צעד 1: בודקים בכמה הסדרה קופצת כל פעם. זה המספר שכופל את n. צעד 2: משווים בין הסדרה לבין מה שיצא, ובודקים כמה חסר או כמה יש יותר מדי. צעד 3: בודקים את הביטוי על מספר אחד מהסדרה.

7, 12, 17, 22 → 5n + 2

דוגמה: 7, 12, 17, 22 — משווים ל־5n

n	5n	המספר בסדרה	כמה חסר
1	5	7	2
2	10	12	2
3	15	17	2

שלושת הצעדים על הסדרה 7, 12, 17, 22

צעד	מה עושים	מה יוצא
1	הסדרה קופצת ב־5 כל פעם	מתחילים מ־5n
2	ל־5n תמיד חסרים 2 כדי להגיע לסדרה	5n + 2
3	בודקים את המקום השני: 5 × 2 + 2	12 — נכון!

ועכשיו המקום ה־100: 5 × 100 + 2 = 502. בלי לכתוב 100 מספרים.

⚠️ הטעות הנפוצה: לכתוב n + 5 לסדרה שקופצת ב־5. אבל n הוא רק מספר המקום. הקפיצה היא המספר שכופל את n, ולכן כותבים 5n — לא n + 5.

💡 אפשר גם לשאול הפוך: האם 311 נמצא בסדרה 5n + 2? מורידים את ה־2 ומקבלים 309. אם 309 מתחלק ב־5 — המספר בסדרה. 309 לא מתחלק ב־5, ולכן 311 לא בסדרה.

בסדרה 2n + 1, מה המספר במקום ה־5?

התשובה: 11. מציבים n = 5: 2 × 5 + 1 = 10 + 1 = 11.

מה הביטוי למקום ה־n בסדרה 4, 7, 10, 13?

התשובה: 3n + 1. הסדרה קופצת ב־3, אז מתחילים מ־3n. כאשר n = 1 הביטוי 3n שווה 3, וחסר 1 כדי להגיע ל־4. לכן 3n + 1.